Modelización

Resuelva los siguientes ejercicios. Si lo desea, puede ver la solución de cada ítem si una vez respondido presiona el botón "Respuesta". Si requiere ver la realimentación entonces dar click en "Solución completa". También, puede ver todas las respuestas si presiona el botón “Enviar” al final de la práctica completa. No olvide leer las explicaciones que se ofrecen, esto puede ser de mucha ayuda.

1.

Temperatura del aire

La temperatura T del aire puede ser considerada como una función lineal de la altitud h, para altitudes menores o iguales a 10 000 metros de la superficie terrestre. 

Si la temperatura del aire en la superficie es 30^ºC y a los 10 000 metros es 5^ºC, entonces de acuerdo al contexto “Temperatura del aire”, un modelo matemático que relaciona la temperatura T con la altitud h corresponde a

2.

Colonia de bacterias

Una infección común en el tracto urinario en los humanos es producido por la bacteria Escherichia coli. En general, la infección se hace patente cuando la colonia de bacterias alcanza una población alrededor de 10^8 bacterias. En condiciones ideales la colonia duplica su tamaño cada 20 minutos.

Si la población inicial es de 80 bacterias y las condiciones para su crecimiento son ideales, entonces de acuerdo al contexto “Colonia de bacterias”, considere las siguientes proposiciones:

I. Al cabo de 1 hora de haber sido contabilizada su población inicial, la colonia de bacterias llega a tener 320 bacterias.

II. Un modelo matemático que expresa la cantidad C(t) de bacterias Escherichia coli como función del tiempo t (en minutos) es C(t)=80 \cdot 2^{\frac{t}{20}}

De ellas ¿cuáles son verdaderas?

3.

Población mundial

La población mundial ha pasado de los casi 1000 millones en el año 1800 a más de 6000 millones en el año 2000, y el 30 de octubre de 2011 se alcanzaron los 7000 millones.  En la actualidad  la tasa media de crecimiento anual de la población mundial es de 1,1% y en el 2015 la población mundial era de 7 349 472 000 habitantes (aproximadamente).

(http://populationpyramid.net/es/mundo/2015)

De acuerdo con el contexto “Población mundial” es claro que el tamaño de la población mundial está en función del tiempo (en años). Por lo tanto, si consideramos como población inicial la población mundial del año 2015, es decir, que t=0 para el año 2015, t=1 para el año 2016 y así sucesivamente.

Para el caso de t=0 la población es de 7 349 472 000 habitantes, es decir, P(0)=7 349 472 000. Por otro lado, se sabe que la tasa media de crecimiento anual de la población es de un 1,1%

I. La población mundial en el año 2017 será aproximadamente
II. El modelo matemático que expresa el tamaño P(t) de la población mundial como función del tiempo t (en años) es P(t)=7 349 472 000 \cdot 1,1^t

De ellas ¿cuáles son verdaderas?

4.

Ley de enfriamiento

Esta ley establece que la tasa de enfriamiento de un objeto es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y la de sus alrededores. Este modelo aplica cuando la diferencia de temperaturas no es muy grande. La ley está dada por

T(n)=T_{0}+D_{0}e^{-k \cdot n}

donde

T(n) es la temperatura en un tiempo n de un objeto.

T_{0} es la temperatura de los alrededores del objeto en cuestión.

D_{0} es la diferencia de la temperatura inicial entre el objeto y sus alrededores.

k es la constante que depende del tipo de objeto.

n es el tiempo que ha transcurrido (en horas).

Si en una ciudad donde la temperatura promedio es de 18^ºC y la temperatura normal de un objeto es de 36,7^ºC. Además, se ha determinado experimentalmente que la constante para ese tipo de objetos es k=0,1946, entonces la “Ley de enfriamiento” para el objeto descrito anteriormente corresponde a

5.

Crecimiento de la población

Una población de 4 millones de habitantes crece a una tasa de 3% anual, esto significa que cada año hay un  3% más de habitantes comparado al año anterior.

¿Cuál función P(t) que modeliza mejor el comportamiento anterior?